<!DOCTYPE html>
<html lang="zh-cn">

<head>
    <meta charset="UTF-8">
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
    <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="ie=edge">
    <title>记录一个失败了的思路</title>

    <!-- <script id="MathJax-script" async src="https://cdn.staticfile.org/mathjax/3.2.2/es5/tex-chtml.min.js"></script> -->
    <script id="MathJax-script" src="./mathjax/tex-chtml.min.js"></script>
    <style>
        body {
            padding: 0 2em;
        }

        /* useing mathjax font-family */
        p span {
            font-family: MJXZERO, MJXTEX-I, MJXTEX, MJXTEX-S1, MJXTEX-A;
            letter-spacing: 0.1em;
        }
    </style>
</head>

<body>
    <p>如果3n+1的猜想是正确的，在H进制下经过有限多步可得到\( [...0,0,0,1,6,6,6...] \) 的结果。
        一个容易想到的证明是对最终序列全体元素求和结果只有\(1\)。
        可是H进制由于\(0,6\)都是概念上的零（虚实零）， 强行定义加法运算面临数字进位、运算闭合的问题，
        直接序列元素求和并非明智。
        考虑方便序列的位移操作，将序列放入多项式中，再对该多项式积分求结果，可能是一个可行办法
        （这当然是个天真且不可行的想法）。
    </p>
    <p>假设H进制能找到一一对应的三阶矩阵（目前还没找到这样的矩阵），
        用字母\([A-G]\)表示满足\([0-6]\)，代入多项式进行计算，形如 \(Af(x^k)+Bf(x^{k+1})+Cf(x^{k+2})\) ，
        其中\(f(x)\)为应当满足以下条件的函数：
    </p>
    <ul>
        <li>满足正交，当\(x \neq y\) 时，\(f(x) f(y) = 0 \)</li>
        <li>易于平移，容易将\(Af(x^k)+Bf(x^{k+1})+Cf(x^{k+2})\)变换成\(Af(x^{k+1})+Bf(x^{k+2})+Cf(x^{k+3})\)</li>
        <li>最终求和时，存在常数\(C\)，任意\(k \in N \)都有\(f(C^k)=1\)</li>
    </ul>
    <p>
        很自然想到的是满足正交的傅里叶级数。
        积分\(\int^{+\pi}_{-\pi} C_1\sin (2x) + C_2\sin (4x) + C_3\sin (8x) + \dots + C_n\sin (2^nx) \mathrm{d}x \)
        乘以多项式\( \cos (2x) + \cos (4x) + \cos (8x) + \dots + \cos (2^nx) \) 可得
        \(\int^{+\pi}_{-\pi} C_1\sin (4x) + C_2\sin (8x) + C_3\sin (16x) + \dots + C_n\sin (2^{(n+1)}x) + O(x) \mathrm{d}x \),
        其中\(O(x)\) 为 \( \cos (2^a x) \sin (2^b x) , a \neq b \) 的项。
        由于傅里叶级数的正交性，\(O(x)\)在积分区间内恒为零，故积分时可以忽略。
    </p>
    <p>
        虽然傅里叶级数有上述得到优势，但用该形式计算3n+1问题中每一步过程中涉及到拆除积分的操作，也就是需要求导。
        对一个傅里叶级数的定积分求导是无意义的，导数必定是零（该积分本身结果明显为零）,这个结果并不是一个函数。
        而且求导操作是与相乘操作顺序可逆转性也没得到严格的证明，原本寄希望某种乘法能解决该问题，结果反倒复杂了。
    </p>
    <p>
        这个结局其实上个月就想到了，沮丧了很久，拖拖拉拉才把这个东西写下来。
    </p>
</body>

</html>